Question

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據(jù)離心率及短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，可得 的值，進(jìn)而得橢圓方程。

（2）設(shè)出點(diǎn)、及直線(xiàn)方程，并將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，可得韋達(dá)定理表達(dá)式，根據(jù)判別式可得，根據(jù)線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上可得，進(jìn)而用k表示出m，結(jié)合基本不等式可求得m的最小值。

（1）由已知得橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，

解得，

所以橢圓的方程為

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)，，

將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立

化簡(jiǎn)得，

由韋達(dá)定理得，，

，化簡(jiǎn)得.

由線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，得，

故，即，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，滿(mǎn)足，

因此，直線(xiàn)與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.