已知向量
a
、
b
滿足|
a
|=2
2
，|
b
|=1，
a
•
b
=2，向量
c
滿足（
a
-
c
）（
b
-
c
）=0，則|
c
|的最小值為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用
分析：設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，根據(jù)已知條件知，∠AOB=
π
4
，
CA
⊥
CB
，并且C點在以AB為直徑的圓上．若設(shè)AB中點為D，則當(dāng)C在OD連線上時|
OC
|最小，即|
c
|最小，所以根據(jù)余弦定理，正弦定理即可求出|OD|，|CD|，從而求出|OC|，即求出了|
a
|的最小值．
解答： 解：由已知條件知，向量
a
，
b
的夾角為
π
4
，并且向量(
a
-
c
)⊥(
b
-
c
)；
可設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
a
-
c
=
CA
，
b
-
c
=
CB
，∴
CA
⊥
CB
，如圖所示：
C點在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB中點為D；
∴當(dāng)C點在OD連線上時，|
OC
|最小，即|
c
|最��；
△OAB中，|OA|=2
2
，|OB|=1，∠AOB=
π
4
，所以：
|AB|2=8+1-2•2
2
•1•
2
2
=5；
∴|AB|=
5
；
由正弦定理，
5
sin
π
4
=
1
sin∠OAB
；
∴sin∠OAB=
10
10
；
∴cos∠OAB=
3
10
10
；
∴在△OAD中，由余弦定理得，|OD|2=8+
5
4
-2•2
2
•
5
2
•
3
10
10
=
13
4
；
∴|OD|=
13
2
；
∴|OC|=|OD|-|CD|=
13
2
-
5
2
=
13
-
5
2
．
即|
c
|的最小值為
13
-
5
2
．
故答案為：
13
-
5
2
．
點評：考查數(shù)量積的運算，直徑所對圓周角為
π
2
，以及正弦定理、余弦定理的運用，數(shù)形結(jié)合的方法解題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠接到一標(biāo)識制作訂單，標(biāo)識如圖所示，分為兩部分，“T型”部分為寬為10cm 的兩個矩形相接而成，圓面部分的圓周是A，C，D，F(xiàn)的外接圓．要求如下：①“T型”部分的面積不得小于800cm2；②兩矩形的長均大于外接圓半徑．為了節(jié)約成本，設(shè)計時應(yīng)盡量減小圓面的面積．此工廠的設(shè)計師，憑直覺認(rèn)為當(dāng)“T型”部分的面積取800cm2且兩矩形的長相等時，成本是最低的．你同意他的觀點嗎？試通過計算，說說你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（-
1
2
，
3
2
），其中α是銳角．
（Ⅰ）當(dāng)α=30°時，求|
a
+
b
|；
（Ⅱ）證明：向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（Ⅲ）若向量
a
與
b
夾角為60°，求角α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=
x
ln(x-2)
的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①在極坐標(biāo)系中，圓ρ=cosθ與直線ρcosθ=1相切；
②在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
t
2
y=3+
3
2
t
（t為參數(shù)），則它的傾斜角為
π
3
；
③不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a，y滿足
x-y+2≥0
x+y≥0
x≤1
，則z=|2x+y-4|的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，求直線ρsin（θ+
π
4
）=2被圓ρ=4截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2x-
1
x2
）6展開式中的常數(shù)項為
 
（用數(shù)字作答）

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