Question

函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f（0）+f（

1

2

）+f（1）+…+f（

2011

2

）的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：從xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得，再由依此求解．

解答： 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
 當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
 當(dāng)x≠0時(shí)，f（x+1）=

x+1

x

f（x）
∴令x=-

1

2

，即f（

1

2

）=-f（-

1

2

），
又∵函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

），
∴f（

1

2

）=0，
令x=

1

2

，則f（

3

2

）=

1 2 +1

1 2

f（

1

2

）=0，所以可得f（

5

2

）=f（

7

2

）=…=f（

2011

2

）=0，
∵f（1）=f（-1）=0，
∵f（x+1）=

x+1

x

f（x）
∴f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
所以f（0）+f（

1

2

）+f（1）+…+f（

2011

2

）=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的主條件用遞推的方法求函數(shù)值，這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來，作適當(dāng)變形，把握遞推的規(guī)律．