【題目】已知拋物線：內(nèi)有一點，過的兩條直線，分別與拋物線交于，和，兩點，且滿足，，已知線段的中點為，直線的斜率為.

（1）求證：點的橫坐標為定值；

（2）如果，點的縱坐標小于3，求的面積的最大值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)中點為，根據(jù)向量的線性運算可知，且，和三點共線，利用點差法可得，，即，可知軸，故為定值（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，寫出面積公式即可求最值.

（1）設(shè)中點為，則由，可推得，，這說明，且，和三點共線.

對，使用點差法，可得，即.

同理.

于是，即軸，所以為定值.

（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立

得，所以,,

根據(jù)點到直線的距離公式知P到AB的距離為，

于是，令x=,則，

，令得，當時， ,函數(shù)為增函數(shù)，當時，，函數(shù)為減函數(shù)，故當，即時，有最大值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC上一點，當F為DC的中點時，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求證：平面PCB；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線經(jīng)過點.

（1）寫出拋物線的標準方程及其準線方程，并求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）過點且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點，，且點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸交于點.

（i）求點的坐標；

（ii）求與面積之和的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年上半年我國多個省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題，我國政府一方面鼓勵有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴大生產(chǎn)；另一方面積極向多個國家開放豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當前市場形勢，決定響應(yīng)政府號召，擴大生產(chǎn)，決策層調(diào)閱了該企業(yè)過去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

（1）研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認為與具有線性回歸關(guān)系，請幫他求出關(guān)于的線性回歸方程（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）

（2）研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型：.為了評價兩種模型的擬合結(jié)果，請完成以下任務(wù)：

①完成下表（計算結(jié)果精確到0.01元）（備注：稱為相應(yīng)于點的殘差）；

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計值

殘差

模型乙

估計值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

殘差

0

0

0

0.14

0.1

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較與的大小，判斷哪個模型擬合效果更好；

（3）根據(jù)市場調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達到1萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數(shù)量達到1.2萬頭時，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元.若按（2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數(shù)量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請說明理由.（利潤=收入-成本）

參考公式：，

參考數(shù)據(jù)： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是常數(shù)）.

（1）若，求函數(shù)的值域；

（2）若為奇函數(shù)，求實數(shù).并證明的圖像始終在的圖像的下方；

（3）設(shè)函數(shù)，若對任意，以為邊長總可以構(gòu)成三角形，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”；

乙說：“作品獲得一等獎”；

丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；

丁說：“是作品獲得一等獎”.

若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，且橢圓過點，直線與圓: 相切，且與橢圓相交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求三角形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】.華為公司研發(fā)的5G技術(shù)是中國在高科技領(lǐng)域的重大創(chuàng)新，目前處于世界領(lǐng)先地位，今年即將投入使用，它必將為人們生活帶來別樣的精彩，成為每個中國人的驕傲.現(xiàn)假設(shè)在一段光纖中有條通信線路，需要輸送種數(shù)據(jù)包，每條線路單位時間內(nèi)輸送不同數(shù)據(jù)包的大小數(shù)值如表所示.若在單位時間內(nèi)，每條線路只能輸送一種數(shù)據(jù)包，且使完成種數(shù)據(jù)包輸送的數(shù)值總和最大，則下列敘述正確的序號是_______.

①甲線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包；

②乙線路不能輸送第二種數(shù)據(jù)包；

③丙線路可以不輸送第三種數(shù)據(jù)包；

④丁線路可以輸送第三種數(shù)據(jù)包；

⑤戊線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有三個不同的零點，求的取值范圍.

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