【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，是的中點(diǎn)，在邊上，.

（1）證明：平面平面；

（2）若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面.

①在答題卡中作出點(diǎn)的軌跡，并說(shuō)明軌跡的形狀（不需要說(shuō)明理由）；

②求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見解析（2）①詳見解析②

【解析】

（1）要證明面面垂直，需先證明線面垂直，根據(jù)條件可證明以平面；

（2）①要總有平面，即作出過(guò)點(diǎn)的平面，使其與平面平行；

②根據(jù)①的面面平行可轉(zhuǎn)化為，再利用等體積轉(zhuǎn)化求解.

解：（1）在正三棱柱中，因?yàn)?/span>平面，平面，

所以

在等邊中，是的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)的軌跡就是線段.

②因?yàn)?/span>平面，所以.……

由（1）得平面，

又因?yàn)?/span>，

所以.

故三棱錐的體積為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在中.，過(guò)作于延長(zhǎng)到，使.沿將折起，將折到點(diǎn)的位置使平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)曲線第一象限上一點(diǎn)（其中）作切線交直線于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求當(dāng)面積取最小值時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，過(guò)點(diǎn)作的異于軸的切線，過(guò)點(diǎn)作的異于軸的切線.設(shè)與交于點(diǎn)，記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知，在點(diǎn)處的切線交直線于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與平行的直線交于點(diǎn).證明：以為直徑的圓截軸的弦長(zhǎng)為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點(diǎn).沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點(diǎn)，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

AQI

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）.設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.該蓄水池的體積最大時(shí)______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù) ，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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