Question

【題目】如圖所示,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,△BCE是等邊三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.

(1)證明:平面ABE⊥平面BCE;

(2)求二面角A-DE-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)證明:設O為BE的中點,連接AO,CO,證得AO⊥BE,CO⊥BE和AO⊥CO，利用面面垂直的判定定理，即可證明；

(2)由(1)可知AO,BE,CO兩兩垂直,以O為坐標原點,OE,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，分別求解平面ADE和平面DEC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

(1)證明:設O為BE的中點,連接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.設AC=BC=2,則AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.

又CO平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.

(2)由(1)可知AO,BE,CO兩兩垂直,

設OE=1,以O為坐標原點,OE,OC,OA分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,,1),故=(1,,0),=(1,0,-1),

=(-1,,0),=(1,0,1).設n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則即令y1=1,可得n=(-,1,-).設m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,則即令y2=1,可得m=(,1,-),則cos<n,m>==.

易知二面角A-DE-C為銳角,所以二面角A-DE-C的余弦值為.