10．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x+x2．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計(jì)算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2008）．

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的周期性證明
（2）利用周期性概念，奇偶性定義轉(zhuǎn)化，
（3）根據(jù)周期性整體求解得出即可

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）為周期函數(shù)且4是它的一個周期．
（2）∵f（x）R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，
滿足f（x）=x2-2x，∴x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x2-2x，
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，-x∈[0，2]，∴f（-x）=x2+2x，
∴x∈[-2，0]時(shí)，∴f（x）=-[-f（x）]=x2-2x，
又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-4∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=-（x-4）2-2（x-4）=-x2+6x-8．
（3）由函數(shù)的周期性可得，原式的值=4×502=2008．

點(diǎn)評 本題綜合考察了函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性的綜合運(yùn)用，屬于綜合題目．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（1，1），則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

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1．下列命題正確的是（　�。�
A．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則a＞b是cos A＜cos B的充要條件
B．命題p：對任意的x∈R，x2+x+1＞0，則￢p：對任意的x∈R，x2+x+1≤0
C．已知p：$\frac{1}{x+1}$＞0，則￢p：$\frac{1}{x+1}$≤0
D．存在實(shí)數(shù)x∈R，使sin x+cos x=$\frac{π}{2}$成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．下列說法中正確的是（　�。�
A．如果兩條直線l1與l2垂直，那么它們的斜率之積一定等于-1
B．“a＞0，b＞0”是“$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2”的充分必要條件
C．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題
D．“a≠-5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知圓O：x2+y2=4與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

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15．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）x與y=log2x的圖象大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）=x2+1在（0，+∞）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．（理）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結(jié)論：
①$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$+$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
②$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$-$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
③$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$； 
④$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$；
⑤$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SC}$=0，
其中正確結(jié)論是（　　）
A．①②③B．④⑤C．②④D．③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）和g（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)重合．
（1）求a實(shí)數(shù)的值
（2）若h（x）=f（x）+b$\sqrt{g（x）}$（b為常數(shù)）試討論函數(shù)h（x）的奇偶性；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）-2$\sqrt{g（x）}$＞a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案