Question

13．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜a）的半焦距為c，直線l經(jīng)過雙曲線的右頂點和虛軸的上端點．已知原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，則雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 寫出直線方程，利用點到直線的距離公式列出方程，求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜a）的半焦距為c，直線l經(jīng)過雙曲線的右頂點和虛軸的上端點．
可得直線方程為：bx+ay=ab．
原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，
可得：$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，
化簡可得16a²（c²-a²）=3c⁴，
即：16e²-16=3e⁴，e＞1
解得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．