Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（1）證明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值的絕對(duì)值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，證明且平分得到答案.

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)，計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算法向量，利用二面角公式計(jì)算得到答案.

證明：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)閭?cè)面為菱形，

所以，且為與的中點(diǎn)，又，所以平面.

由于平面，故.

又，故.

（2）因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>，所以，故，從而兩兩相互垂直，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，又，則

設(shè)是平面的法向量，則

，即 所以.

設(shè)是平面的法向量，則，同理可取,

，所以二面角的余弦值為.