已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
14
x2
;
(1)求函數(shù)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)在[0,2]上的最大值和最小值.
分析:(1)欲求在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)大于0解出其增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0解出其減區(qū)間,并列出如圖的x變化時,f'(x),f(x)變化表由表中數(shù)據(jù)判斷最值即可
解答:解:(1)f′(x)=
1
1+x
-
1
2
x,k=f’(0)=1,f(0)=0
∴函數(shù)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程:y=x
(2)令f′(x)=0,即
1
1+x
-
1
2
x=0,化簡為x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.
當(dāng)0≤x<1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1<x≤2時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以f(1)=ln2-
1
4
為函數(shù)f(x)的極大值.
又因?yàn)閒(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2),
所以f(0)=0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值,
f(1)=ln2-
1
4
為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.
點(diǎn)評:本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程\利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究清楚函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)最值的判斷方法確定出函數(shù)的最值,此題規(guī)律性強(qiáng),且固定,容易題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個數(shù).

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