Question

已知在數(shù)列{a_n}中，，S_n是其前n項和，且S_n=n²a_n-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）令b_n=（n+1）（1-a_n），記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
①求證：當n≥2時，；
②）求證：當n≥2時，．

Answer 1

解：（1）由條件可得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1）
兩邊同除以n（n-1），得：
所以：數(shù)列成等差數(shù)列，且首項和公差均為（14分）
（2）由（1）可得：，，代入S_n=n²a_n-n（n-1）可得，所以，．（6分）
①當n≥2時，
平方則
疊加得∴
又
=∴（9分）
②當n=2時，即n=2時命題成立
假設(shè)n=k（k≥2）時命題成立，即
當n=k+1時，
=即n=k+1時命題也成立
綜上，對于任意n≥2，（14分）
分析：（1）由題設(shè)知S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1），兩邊同除以n（n-1），得，由此能夠證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）由，代入S_n=n²a_n-n（n-1），得，故，．
①，，平方，
再由疊加法能夠得到當n≥2時，；
②當n=2時，即n=2時命題成立，由數(shù)學歸納法能夠證明對于任意n≥2，．
點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．