Question

【題目】已知圓M：x2+y2+2y﹣7=0和點(diǎn)N（0，1），動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且與圓M相切，圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)A是曲線E與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B、C在曲線E上，若直線AB、AC的斜率k1 ， k2 ， 滿足k1k2=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓M：x2+y2+2y﹣7=0的圓心為M（0，﹣1），半徑為

點(diǎn)N（0，1）在圓M內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且與圓M相切，

所以動(dòng)圓P與圓M內(nèi)切．設(shè)動(dòng)圓P半徑為r，則 ﹣r=|PM|．

因?yàn)閯?dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，所以r=|PN|， ＞|MN|，

所以曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 的橢圓．

由 ，得b2=2﹣1=1，

所以曲線E的方程為

（2）解：直線BC斜率為0時(shí)，不合題意

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC：x=ty+m，

聯(lián)立方程組 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，

又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）

= ．

代入得

又m≠1，化簡(jiǎn)得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），

解得m=3，故直線BC過(guò)定點(diǎn)（3，0）

由△＞0，解得t2＞4， =

（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）．

綜上，△ABC面積的最大值為

【解析】（1）利用圓與圓的位置關(guān)系，得出曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 的橢圓，即可求曲線E的方程；（2）聯(lián)立方程組 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合k1k2=4，得出直線BC過(guò)定點(diǎn)（3，0），表示出面積，即可求△ABC面積的最大值．