Question

對(duì)向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂）定義一種運(yùn)算“⊕”：a?b=（a₁，a₂）⊕（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂），已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在曲線y=sinx和y=f（x）上運(yùn)動(dòng)，且

OQ

=m⊕

Op

+m（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若向量

m

=（

1

2

，3），

n

=（

π

6

，0），則y=f（x）的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：新定義,平面向量及應(yīng)用,推理和證明

分析：可設(shè)P（s，t），Q（x，y），則t=sins，由條件可得，（x，y）=（

1

2

s，3t）+（

π

6

，0），x=

1

2

s+

π

6

，且y=3t，即有s=2（x-

π

6

），且t=

y

3

，即y=f（x）=3sin（2x-

π

3

）．由正弦函數(shù)的最大值，即可得到答案．

解答： 解：由于動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在曲線y=sinx和y=f（x）上運(yùn)動(dòng)，
可設(shè)P（s，t），Q（x，y），則t=sins，
由于

OQ

=

m

⊕

Op

+

n

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），向量

m

=（

1

2

，3），

n

=（

π

6

，0），
則由新定義可得，（x，y）=（

1

2

s，3t）+（

π

6

，0）
則有x=

1

2

s+

π

6

，且y=3t，即有s=2（x-

π

6

），且t=

y

3

，
即y=f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
由于x∈R，則f（x）的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查三角函數(shù)的最值，以及平面向量的運(yùn)算，屬于中檔題．