Question

已知函數(shù)f（x）=loga(x+

1+x2

)（x∈R，a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判斷f（x）奇偶性；
（Ⅱ）若g（x）圖象與曲線y=f（x）（x≥

3

4

）關(guān)于y=x對(duì)稱，求g（x）的解析式及定義域；
（Ⅲ）若g（x）＜

5m-5-m

2

對(duì)于任意的m∈N⁺恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)得f（x）+f（-x）=0，可得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）由題意，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）互為反函數(shù)，將f（x）的x、y互換，解出用x表示y的式子，即可得到g（x）的解析式．再結(jié)合a的范圍加以討論，即可得到函數(shù)g（x）的定義域；
（III）根據(jù)a的范圍加以討論，并結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性，建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)
∴f（-x）=loga[-x+

1+(-x)2

]=loga(-x+

1+x2

)
可得f（x）+f（-x）=loga[(x+

1+x2

)(-x+

1+x2

)]=log_a（1+x²-x²）=log_a1=0
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x）的定義域?yàn)镽，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（II）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)，g（x）圖象與曲線y=f（x）關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴函數(shù)y=g（x）與y=f（x）互為反函數(shù)，
令x=loga(y+

1+y2

)，得y+

1+y2

=a^x，得（a^x-y）²=1+y²，
∴2ya^x=a^2x-1，得y=

a2x-1

2ax

，因此g（x）的解析式為g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
∵f（x）的定義域?yàn)閧x|x≥

3

4

}
∴解不等式

1

2

（a^x-a^-x）≥

3

4

，得a^x≥2
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）的定義域?yàn)閇log_a2，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）的定義域?yàn)椋?∞，log_a2]
（III）由（2）得g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a2＜0，此時(shí)定義域中無(wú)正整數(shù)，不滿足條件；
當(dāng)a＞1時(shí)，需所有正整數(shù)在定義域中，故log_a2≤1，得a≥2
∵g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)
∴由不等式g（x）＜

5m-5-m

2

=g（5），得a＜5，所求a的取值范圍是2≤a＜5

點(diǎn)評(píng)：本題給出對(duì)數(shù)型函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性并求函數(shù)在指定區(qū)間上的反函數(shù)，著重考查了指、對(duì)數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和函數(shù)的反函數(shù)求法等知識(shí)，屬于中檔題．