Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的方程為，設(shè)AB是過橢圓C中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上與O不重合的點.

（1）求以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程；

（2）若，當(dāng)點A在橢圓C上運動時，求點M的軌跡方程；

（3）記M是l與橢圓C的交點，若直線AB的方程為，當(dāng)面積取最小值時，求直線AB的方程；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓方程確定雙曲線方程的，，即可求出雙曲線方程；

（2）設(shè)，根據(jù)，建立，的關(guān)系即可求出點M的軌跡方程；

（3）根據(jù)題設(shè)條件，建立關(guān)于斜率的表達式，利用面積最小值求出斜率，進而求出直線AB的方程.

（1）由題知橢圓C的方程為，

則橢圓的，，，

所以橢圓的左焦點和左頂點的坐標(biāo)分別為，，

設(shè)雙曲線方程為，

根據(jù)題中條件有雙曲線方程的，，，

所以雙曲線方程為.

（2）設(shè)，，

由題知,，

有，

因為點在橢圓上，

有，

所以點的軌跡方程為.

（3）由題知，，

聯(lián)立，

解得，，

所以，

，

因為是線段AB的垂直平分線，

所以，

聯(lián)立，

解得，，

所以，

所以，

整理得，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

等號成立時面積最小，即，

所以當(dāng)面積取最小值時，直線AB的方程為.