Question

已知焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的離心率為

4

5

，且過點(diǎn)（

10 2

3

，1）
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l切圓M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于B點(diǎn)，且與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)A，求|AB|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得

c

a

=

4

5

，

200 9

a2

+

1

b2

=1，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，直線AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，得：（25k²+9）x²=50kmx+25（m²-9），由此利用直線與橢圓相切、直線與圓相切、弦長公式能，結(jié)合已知條件能求出|AB|的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
∵橢圓C的離心率為

4

5

，且過點(diǎn)（

10 2

3

，1），
∴

c

a

=

4

5

，

200 9

a2

+

1

b2

=1，a²=b²+c²，
解得a²=25，b²=9，
故橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

9

=1.6分
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，
直線AB的方程為：y=kx+m，
∵A既在橢圓上，又在直線AB上，從而有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，
消去y得：（25k²+9）x²=50kmx+25（m²-9），
由于直線與橢圓相切，故△=（50km）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，
從而可得：m²=9+25k²，①x1=-

25k

m

，②
由

x2+y2=R2 yy=kx+m

．
消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0
由于直線與圓相切，得m²=R²（1+k²），③，x2=-

kR2

m

④
由①③得：k2=

R2-9

25-R2

，
∴|AB|2=(x1-x2)2+(y2-y1)2=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2(25-R2)

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

=25+9-R²-

225

R2

≤34-2

R2× 225 R2

=4．
即|AB|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)R=

15

時(shí)取等號(hào)，
∴|AB|的最大值為2． 13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運(yùn)用．