Question

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（0，3）
• B、（-3，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進而即可得出不等式的解集．

解答： 解：令h（x）=f（x）g（x），則h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＞0=h（-3），∴x＞-3．
②當x＞0時，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＞0，的解集為（3，+∞）．
∴不等式f（x）g（x）＞0的解集是（-3，0）∪（3，+∞）
故選：B．

點評：恰當構(gòu)造函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的奇偶性單調(diào)性是解題的關鍵．