Question

已知：等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S₃=9，其前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

2n

(n+1)Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式能求出d=2，由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，得b_n=

2n

(n+1)Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S₃=9，
∴

a1=1 3a1+3d=9

，解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²，
∴b_n=

2n

(n+1)Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．