Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{1}{2}$，傾斜角為$\frac{π}{4}$的動(dòng)直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)的取得最大值8時(shí)，直線l的方程為（　�。�

• A． x-y-1=0
• B． x-y=0
• C． x-y-$\sqrt{3}$=0
• D． x-y-2=0

Answer 1

分析 首先利用橢圓的定義建立周長(zhǎng)的等式，進(jìn)一步利用三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系建立等式，求出a值，得到橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，則直線方程可求．

解答 解：如圖，
設(shè)右焦點(diǎn)為A，一動(dòng)直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，
則：△FMN周長(zhǎng)l=MN+MF+NF=MN+2a-MA+2a-NA=4a+（MN-MA-NA）．
由于MA+NA≥MN，
∴當(dāng)M，A，N三點(diǎn)共線時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)取得最大值4a=8，則a=2，
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，則A（1，0），
∴直線l的方程為y=1×（x-1），即x-y-1=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義的靈活運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．