Question

【題目】【2017山西三區(qū)八校二模】已知函數(shù)（其中， 為常數(shù)且）在處取得極值．

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上的最大值為1，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為， ；單調(diào)遞減區(qū)間為; （Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進而根據(jù)是的一個極值點，可構(gòu)造關(guān)于， 的方程，根據(jù)求出值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時， 的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于的方程求得結(jié)果．

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以，

因為函數(shù)在處取得極值，

當時， ， ，

由，得或；由，得，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， ；單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）因為，

令， ， ，

因為在處取得極值，所以，

當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的最大值為，

令，解得，

當， ，

當時， 在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，

所以最大值1可能的在或處取得，而 ，

所以，解得；

當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，

解得，與矛盾．

當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所最大值1可能在處取得，而，矛盾．

綜上所述， 或．