Question

對于函數(shù)f（x）=log₂x在其定義域內(nèi)任意的x₁，x₂且x₁≠x₂，有如下結(jié)論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
④f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用對數(shù)的基本運算性質(zhì)進行檢驗：①f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=log₂x₁•log₂x₂，②f（x₁•x₂）=log₂x₁x₂=log₂x₁+log₂x₂=f（x₁）+f（x₂）③f（x）=log₂x在（0，+∞）單調(diào)遞增，④根據(jù)對數(shù)的運算法則和基本不等式即可得到．

解答： 解：①當(dāng)x₁=1，x₂=1時，f（x₁+x₂）=f（2）=log₂2，f（x₁）•f（x₂）=log₂1•log₂1=0，∴①錯誤；
②f（x₁•x₂）=log₂（x₁•x₂）=log₂x₁+log₂x₂=f（x₁）+f（x₂），∴②正確．
③f（x）=log₂x在（0，+∞）單調(diào)遞增，則對任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；∴③正確
④f（

x1+x2

2

）=log₂

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（log₂x₁+log₂x₂）=

1

2

log2 x1x2
∵

x1+x2

2

≥

x1•x2

，
∴l(xiāng)og₂

x1+x2

2

≥

1

2

log2 x1x2，∴④錯誤．
故答案為：②③

點評：本題主要考查了對數(shù)的基本運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于知識的簡單綜合應(yīng)用