Question

函數(shù)y+1=

x

x-1

與y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：

分析：函數(shù)y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象的公共的對(duì)稱中心是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，由此可得結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，根據(jù)y₁=

1

x-1

的圖象與y₂=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y₁≥

1

3

，
而函數(shù)y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在（2，

5

2

）上是單調(diào)增且為正數(shù)函數(shù)，
y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在（

5

2

，3）上是單調(diào)減且為正數(shù)，
∴函數(shù)y₂在x=

5

2

處取最大值為2≥

2

3

，
而函數(shù)y₂在（1，2）、（3，4）上為負(fù)數(shù)與y₁的圖象沒有交點(diǎn)，
所以兩個(gè)函數(shù)圖象在（1，4）上有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中C、D），
根據(jù)它們有公共的對(duì)稱中心（1，0），可得在區(qū)間（-2，1）上也有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的圖象特征，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．