Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．

（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB中點Q，連接MQ、NQ，

因為M、N分別是棱AD、PC中點，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥平面PMB

（2）解： PD⊥MB

又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD. 平面PMB⊥平面PAD

（3）解：因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離．

過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是點D到平面PMB的距離. ．

∴點A到平面PMB的距離為 ．

【解析】（1）取PB中點Q，連接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；（2）易證PD⊥MB，又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，然后利用平面與平面垂直的判定定理進行證明；（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離，過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是點D到平面PMB的距離，從而求解．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．