Question

【題目】已知f（x）=x（ + ），
（1）試判斷f（x）的奇偶性，
（2）求證f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x（ + ）=x

由2x﹣1≠0，可得x≠0，

則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

f（﹣x）=﹣x =﹣x =x =f（x），

則f（x）為偶函數(shù)

（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞1，即2x﹣1＞0，2x+1＞0，

則f（x）=x（ + ）＞0，

由f（x）為偶函數(shù)，即有f（﹣x）=f（x），

則x＜0時(shí)，f（x）＞0成立．

則對(duì)于x≠0的任何實(shí)數(shù)，都有f（x）＞0

【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，再計(jì)算f（﹣x），與f（x）比較，即可判斷函數(shù)的奇偶性；（2）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和f（x）的奇偶性即可證得f（x）＞0．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．