Question

選修4-1幾何證明選講
已知四邊形ACBE，AB交CE于D點，∠BCE=∠ACE，BE²=DE-EC．
（Ⅰ）求證：△EBD∽△ACD；
（Ⅱ）求證：A、E、B、C四點共圓．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：（Ⅰ）依題意，

DE

BE

=

BE

EC

，∠1公用，可得△DEB∽△BEC，可得∠3=∠4，從而∠3=∠5，即可證明△EBD∽△ACD．
（II）由△EBD∽△ACD．可得

ED

BD

=

AD

CD

，因此△ADE∽△CDB，可得∠4=∠8．∠1+∠7+∠4+∠5=180°．即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）依題意，

DE

BE

=

BE

EC

，∠1公用，
∴△DEB∽△BEC，
得∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，又∠2=∠6，
可得：△EBD∽△ACD．
（Ⅱ）∵△EBD∽△ACD．
∴

ED

AD

=

BD

CD

，即

ED

BD

=

AD

CD

，
又∠ADE=∠CDB，
∴△ADE∽△CDB，
∴∠4=∠8．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∠2=∠7+∠8，即∠2=∠7+∠4，
由（Ⅰ）知∠3=∠5，
∴∠1+∠7+∠4+∠5=180°．
即∠ACB+∠AEB=180°，
∴A、E、B、C四點共圓．

點評：本題考查了三角形的相似的判定與性質、四點共圓的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．