Processing math: 1%
13.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0).
(1)用x1,x2,y1,y2表示AB之間的距離,
(2)若x1=2,x2=0,y1=0,y2=4,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,滿足AB=12AC,求C點(diǎn)坐標(biāo),
(3)若x1=2cos(x-\frac{π}{6}),x2=1,y1=0,y2=sin(x-\frac{π}{6}),f(x)=|\overrightarrow{AB}|2,若對(duì)任意x∈[0,\frac{π}{2}],都有f(x)∈[m,n],求n-m的最小值.

分析 (1)根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式寫(xiě)出|AB|的表達(dá)式;
(2)根據(jù)題意,利用AB=\frac{1}{2}AC得出\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},列出方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求出f(x)的解析式并化簡(jiǎn),根據(jù)x的取值范圍求出f(x)的值域,得出m、n的取值范圍,再求n-m的最小值.

解答 解:(1)AB之間的距離為|AB|=\sqrt{{{(x}_{1}{-x}_{2})}^{2}{+{(y}_{1}{-y}_{2})}^{2}}
(2)∵點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,滿足AB=\frac{1}{2}AC,
\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},
\overrightarrow{AB}=(-2,4),\overrightarrow{AC}=(x0-2,y0),
\left\{\begin{array}{l}{-2=\frac{1}{2}{(x}_{0}-2)}\\{4={\frac{1}{2}y}_{0}}\end{array}\right.,
解得x0=-2,y0=8,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,8);
(3)∵x1=2cos(x-\frac{π}{6}),x2=1,y1=0,y2=sin(x-\frac{π}{6}),
∴f(x)=|\overrightarrow{AB}|2={[2cos(x-\frac{π}{6})-1]}^{2}+sin2(x-\frac{π}{6}
={[-{2sin}^{2}\frac{1}{2}(x-\frac{π}{6})]}^{2}+22sin2\frac{1}{2}(x-\frac{π}{6})cos2\frac{1}{2}(x-\frac{π}{2}
=4sin2\frac{1}{2}x-\frac{π}{12}
=2[1-cos(x-\frac{π}{6})]
=2-2cos(x-\frac{π}{6});
又x∈[0,\frac{π}{2}],∴x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}],
∴cos(x-\frac{π}{6})∈[\frac{1}{2},1],
∴-2cos(x-\frac{π}{6})∈[-2,-1],
∴2-2cos(x-\frac{π}{6})∈[0,1],
即f(x)∈[0,1];
又f(x)∈[m,n],
∴m≤0且n≥1,
∴n-m的最小值為1-0=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了兩點(diǎn)間的距離公式以及三角函數(shù)的最值問(wèn)題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.若f(x)在[a,b]上連續(xù),則下列說(shuō)法正確的是( �。�
A.f(x)在[a,b]上可導(dǎo)
B.{∫}_{a}^{x}f(t)dt為f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù):
C.{∫}_{x}^f(t)dt為f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)
D.f(x)在[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某個(gè)四面體的三視圖,則該四面體的表面積為( �。�
A.8+8\sqrt{2}+4\sqrt{6}B.8+8\sqrt{2}+2\sqrt{6}C.2+2\sqrt{2}+\sqrt{6}D.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{4}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直線B1C與底面ABC成30°角
(1)求證:A1C1∥截面AB1C;
(2)求點(diǎn)A1到截面AB1C的距離;
(3)設(shè)點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),求異面直線AE與BC1所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.設(shè)函數(shù)g(x)=ex+2x-a(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),定義在R上函數(shù)f(x)滿足:f(-x)+f(x)=x2,且當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<x,若存在x0∈{x|f(x)+\frac{1}{2}≥f(1-x)+x}.使g[g(x0)]=x0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤\sqrt{e}+\frac{1}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.己知g(x)的圖象與h(x)=x+\frac{1}{x-2}-2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱,若f(x)=g(x)x+ax且f(x)在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.在等比數(shù)列{an}中,若a3=3,a7=6,則a11=12.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.某市舉行“職工技能大比武”活動(dòng),甲廠派出2男1女共3名職工,乙廠派出2男2女共4名職工.
(1)若從甲廠和乙廠派出的職工中各任選1名進(jìn)行比賽,求選出的2名職工性別相同的概率;
(2)若從甲廠和乙廠派出的這7名職工中任選2名進(jìn)行比賽,求選出的2名職工來(lái)自同一工廠的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知四邊形ABCD是矩形,AB=1,AD=2,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.
(1)求證:DF⊥平面PAF;
(2)若∠PBA=45°,求三棱錐C-PFD的體積;
(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD,若存在,請(qǐng)求出\frac{AG}{AP}的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案