Question

給出下面的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

；
②函數(shù)y=sin(x-

3π

2

)在區(qū)間[π，

3π

2

]上單調(diào)遞增；
③x=

5π

4

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

2

)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
④函數(shù)f（x）=2sin（ωx）在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)，ω可以是1或2．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①，利用y=sinx的周期為2π，y=|sinx|的最小正周期是π（周期減半），從而可判斷①；
②，利用誘導(dǎo)公式可得函數(shù)y=sin(x-

3π

2

)=cosx，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可判斷②；
③，當(dāng)x=

5π

4

時(shí)，函數(shù)y=sin（2×

5π

4

+

5π

2

）=sin5π=0≠±1，可判斷③．
④，當(dāng)ω=1或ω=22時(shí)，分別判斷函數(shù)f（x）=2sin（ωx）在[-

π

3

，

π

4

]上的單調(diào)性，可判斷④．

解答： 解：①，∵y=|sinx|的最小正周期是π，是y=sinx的周期的一半，
∴函數(shù)y=|sin(2x+

π

3

)|的最小正周期是

π

2

，即①正確；
②，∵y=sin（x-

3π

2

）=cosx，在區(qū)間[π，

3π

2

]上單調(diào)遞增，故②正確；
③，∵當(dāng)x=

5π

4

時(shí)，y=sin（2×

5π

4

+

5π

2

）=sin5π=0≠±1，
∴x=

5π

4

不是函數(shù)y=sin(2x+

5π

2

)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故③錯(cuò)誤；
④，當(dāng)ω=1時(shí)，f（x）=2sinx在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)，
當(dāng)ω=2時(shí)，x∈[-

π

3

，

π

4

]⇒2x∈[-

2π

3

，

π

2

]
f（x）=2sin2x在[-

π

3

，

π

4

]不是增函數(shù)，
雖然ω=2時(shí)，不符合題意，但ω=1時(shí)，符號(hào)題意，
所以函數(shù)f（x）=2sin（ωx）在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)，ω可以是1或2，正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查正弦函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性的分析與判斷，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．