Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）若點P是側(cè)棱CC₁的中點，求C到平面APD₁的距離．
（2）在側(cè)棱CC₁上是否存在一個點P，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值
為3

2

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出C到平面APD₁的距離．（2）求出平面BDD₁B₁的法向量，由已知條件利用向量法能求出在側(cè)棱CC₁上是存在一個點P，PC=

1

3

，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．

解答： 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，1，0），P（0，1，

1

2

），
A（1，0，0），D₁（0，0，1），

AP

=（-1，1，

1

2

），

AD1

=（-1，0，1），
設(shè)平面APD₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AP =-x+y+ 1 2 z=0 n • AD1 =-x+z=0

，
取x=2，得

n

=（2，1，2），
∵

AC

=（-1，1，0），
∴C到平面APD₁的距離d=

| n • AC |

| n |

=

|-2+1|

3

=

1

3

．
（2）設(shè)CP=t，0＜t＜1，則P（0，1，t），A（1，0，0），

AP

=（-1，1，t），

DB

=（1，1，0），

DD1

=（0，0，1），
設(shè)平面BDD₁B₁的法向量為

m

=（a，b，c），
則

m • DB =a+b=0 m • DD1 =c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，0），
∵直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

，
∴直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正弦值為

3 2

19

，
∴|cos＜

AP

，

m

＞|=|

-1-1+0

2 × 2+t2

|=

3 2

19

，
由0＜t＜1，解得t=

1

3

，
∴在側(cè)棱CC₁上是存在一個點P，PC=

1

3

，
使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，考查滿足條件的點的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．