Question

已知點P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點．
（1）求2x+3y的取值范圍；
（2）求橢圓上的點到直線2x+3y+7

2

=0的最短距離．

Answer 1

分析：由P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點．可設

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
（1）2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)，結合0≤α≤2π可求范圍
（2）由點到直線的距離公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|，結合三角函數的性質可求最小值

解答：解：（1）由P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點．
可設

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
∴2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)
∵0≤α≤2π∴

π

4

≤α+ 

π

4

≤

9π

4

∴-1≤sin(α+

π

4

)≤1
∴-6

2

≤2x+3y≤6 

2

（2）由點到直線的距離公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|
=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|
∵-6

2

≤6 

2

sin(α+

π

4

)≤6

2

∴

2

≤6

2

sin(α+

π

4

)+7

2

≤13

2

∴

26

13

≤d≤ 

26

∴最短距離d=

26

13

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，解題的關鍵是利用三角函數設出P的坐標（即參數方程），從而把所求的函數的取值范圍或最值轉化為求三角函數的值域及最值．