Question

（2013•寶山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x|x|．當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知函數(shù)的解析式易判斷出函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可將不等式f（x+2a）＞4f（x）可化為x+2a＞2x，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題后，易得答案．

解答：解：∵y=|x|為偶函數(shù)，y=x為奇函數(shù)
∴f（x）=x|x|奇函數(shù)
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²為增函數(shù)，由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同可得
函數(shù)f（x）在R上增函數(shù)
又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化為（x+2a）|x+2a|＞4x•|x|=2x•|2x|=f（2x）
故當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，
即當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)，不等式x+2a＞2x恒成立
即x＜2a恒成立
即a+1＜2a
解得a＞1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，恒成立問題，其中分析出函數(shù)的單調(diào)性并將不等式f（x+2a）＞4f（x）可化為x+2a＞2x是解答的關(guān)鍵．