Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=-x+1+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）．
（1）當a=1時，證明函數(shù)h（x）只有一個零點；
（2）若函數(shù)h（x）在定義域內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要證明函數(shù)h（x）只有一個零點，即函數(shù)h（x）的圖象與x軸只有一個交點，可以討論函數(shù)h（x）的極值或最值情況；
（2）函數(shù)h（x）在定義域內(nèi)沒有極值點，等價于h′（x）≥0或h′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²+x-2，
∴h（x）=x²+2x-4lnx-3，
h’（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+2x-4}{x}=\frac{{2（x}^{2}+x-2）}{x}=\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
當h’（x）=0時得x=-2，或x=1，
由g（x）=-x+1+4lnx知x＞0，
∴當0＜x＜1時，h’（x）＜0 h（x）為減函數(shù)；
當1＜x時，h’（x）＞0 h（x）為增函數(shù)．
∴h（1）=0所以h（x）的最小值，
故函數(shù)h（x）只有一個零點；
（2）因為h（x）=ax²+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），
所以${h}^{'}（x）=2ax+2-\frac{4}{x}=\frac{2（a{x}^{2}+x-2）}{x}$，
因為函數(shù)h（x）在定義域內(nèi)沒有極值點，且x＞0，
所以ax²+x-2≥0或ax²+x-2≤0對x∈（0，+∞）恒成立，
令φ（x）=ax²+x-2，
當a=0時，x-2≥0或x-2≤0在x∈（0，+∞）時，均不可能恒成立，
當a＞0時，因為函數(shù)φ（x）=ax²+x-2，
對稱軸為$x=-\frac{1}{2a}$，開口向上的拋物線，
所以ax²+x-2≤0不可能恒成立；
由a＞0，知$x=-\frac{1}{2a}＜0$，又φ（0）=-2＜0，
所以ax²+x-2≥0，也不可能恒成立；
當a＜0時，因為函數(shù)φ（x）=ax²+x-2，
對稱軸為$x=-\frac{1}{2a}$，開口向下的拋物線，
所以ax²+x-2≥0不可能恒成立，
由a＜0，知$x=-\frac{1}{2a}＞0$，
所以當x∈（0，+∞）時，
$φ{(diào)（x）}_{max}=φ（-\frac{1}{2a}）≤0$，即$-\frac{1}{4a}≤2$，
所以$a≤-\frac{1}{8}$．

點評 函數(shù)與方程數(shù)學思想方法是一種重要的數(shù)學思想方法，構(gòu)造函數(shù)法便是其中的一種，常見的方法有：1．作差法（直接構(gòu)造法）這是最常用的一種方法，通常題目中以不等式形式給出，我們可以作差構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論；2．分離變量再構(gòu)造函數(shù)法，直接研究新構(gòu)造函數(shù)的最值；3．根據(jù)已知條件聯(lián)想法，此法對思維的敏捷性與知識的綜合性要求較高．