20.已知函數(shù)f(x)=ax2+x-2(a∈R),g(x)=-x+1+4lnx,h(x)=f(x)-g(x).
(1)當a=1時,證明函數(shù)h(x)只有一個零點;
(2)若函數(shù)h(x)在定義域內(nèi)沒有極值點,求a的取值范圍.

分析 (1)要證明函數(shù)h(x)只有一個零點,即函數(shù)h(x)的圖象與x軸只有一個交點,可以討論函數(shù)h(x)的極值或最值情況;
(2)函數(shù)h(x)在定義域內(nèi)沒有極值點,等價于h′(x)≥0或h′(x)≤0對x∈(0,+∞)恒成立.

解答 解:(1)當a=1時,f(x)=x2+x-2,
∴h(x)=x2+2x-4lnx-3,
h’(x)=2x+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+2x-4}{x}=\frac{{2(x}^{2}+x-2)}{x}=\frac{2(x+2)(x-1)}{x}$,
當h’(x)=0時得x=-2,或x=1,
由g(x)=-x+1+4lnx知x>0,
∴當0<x<1時,h’(x)<0 h(x)為減函數(shù);
當1<x時,h’(x)>0 h(x)為增函數(shù).
∴h(1)=0所以h(x)的最小值,
故函數(shù)h(x)只有一個零點;
(2)因為h(x)=ax2+2x-4lnx-3,x∈(0,+∞),
所以${h}^{'}(x)=2ax+2-\frac{4}{x}=\frac{2(a{x}^{2}+x-2)}{x}$,
因為函數(shù)h(x)在定義域內(nèi)沒有極值點,且x>0,
所以ax2+x-2≥0或ax2+x-2≤0對x∈(0,+∞)恒成立,
令φ(x)=ax2+x-2,
當a=0時,x-2≥0或x-2≤0在x∈(0,+∞)時,均不可能恒成立,
當a>0時,因為函數(shù)φ(x)=ax2+x-2,
對稱軸為$x=-\frac{1}{2a}$,開口向上的拋物線,
所以ax2+x-2≤0不可能恒成立;
由a>0,知$x=-\frac{1}{2a}<0$,又φ(0)=-2<0,
所以ax2+x-2≥0,也不可能恒成立;
當a<0時,因為函數(shù)φ(x)=ax2+x-2,
對稱軸為$x=-\frac{1}{2a}$,開口向下的拋物線,
所以ax2+x-2≥0不可能恒成立,
由a<0,知$x=-\frac{1}{2a}>0$,
所以當x∈(0,+∞)時,
$φ{(diào)(x)}_{max}=φ(-\frac{1}{2a})≤0$,即$-\frac{1}{4a}≤2$,
所以$a≤-\frac{1}{8}$.

點評 函數(shù)與方程數(shù)學思想方法是一種重要的數(shù)學思想方法,構(gòu)造函數(shù)法便是其中的一種,常見的方法有:1.作差法(直接構(gòu)造法)這是最常用的一種方法,通常題目中以不等式形式給出,我們可以作差構(gòu)造新的函數(shù),通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論;2.分離變量再構(gòu)造函數(shù)法,直接研究新構(gòu)造函數(shù)的最值;3.根據(jù)已知條件聯(lián)想法,此法對思維的敏捷性與知識的綜合性要求較高.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-2x.
(1)求f(x)的解析式,并畫出的f(x)圖象;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-k,利用圖象求:當實數(shù)k為何值時,函數(shù)g(x)有三個零點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知全集U={x∈N|1≤x≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}.
(Ⅰ)求A∩B;               
(Ⅱ)求(∁UA)∩(∁UB).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

8.已知數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{3}$,2anan-1=an-an-1,則數(shù)列an的通項公式為an=$\frac{1}{5-2n}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.一離散型隨機變量X的概率分布列為
X0123
P0.1ab0.1
且E(X)=1.5,則a-b=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.四邊形ABCD四頂點的坐標分別為A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),將四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,則此幾何體的表面積為(7$\sqrt{2}$+1)π.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.集合A={$\frac{9}{10-x$∈N|x∈N}的真子集的個數(shù)是(  )
A.4B.7C.8D.16

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

9.設(shè)集合A={x|x≥2},B={x|$\frac{x-1}{x-4}>0$},則A∩B=( 。
A.B.[2,4)C.[2,+∞)D.(4,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1和頂點坐標(-2,-3)
(1)求f(x);
(2)指出f(x) 的圖象可以通過 y=x2的圖象如何平移得到;
(3)求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案