Question

11．定義在R上的函數(shù)f（x），其周期為4，且當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
（1）畫(huà)出函數(shù)在x∈[-1，3]的簡(jiǎn)圖
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，可得函數(shù)在x∈[-1，3]的簡(jiǎn)圖
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與y=kx+k的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：（1）∵當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)在x∈[-1，3]的簡(jiǎn)圖如下圖：

（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）與y=kx+k的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
由y=kx+k的圖象恒過(guò)（-1，0）點(diǎn)，
當(dāng)y=kx+k的圖象過(guò)（2，1）點(diǎn)時(shí)，k=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)y=kx+k的圖象與半圓y=$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$相切時(shí)，k=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
故當(dāng)k∈（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{3}$）時(shí)，即函數(shù)f（x）與y=kx+k的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．