Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-3上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，再設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，利用|MA|=2|MO|，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題設(shè)，圓心C在y=x-3上，也在直線y=2x-4上，2a-4=a-3，∴a=1，∴C（1，-2）．
∴⊙C：（x-1）²+（y+2）²=1，
由題，當(dāng)斜率存在時，過A點(diǎn)切線方程可設(shè)為y=kx+3，即kx-y+3=0，則$\frac{|k+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得：k=-$\frac{12}{5}$，…（4分）
又當(dāng)斜率不存在時，也與圓相切，∴所求切線為x=0或y=-$\frac{12}{5}$x+3，
即x=0或12x+5y-15=0；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由|MA|=2|MO|，化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．