Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=1，且a_n+1=2a_n+n-2×3^n-1-1，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=2ⁿ-1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)a_n+1+k•3ⁿ+tn+p=2[（a_n+k•3^n-1+t（n-1）+p]，k、t是常數(shù)，化簡后由題意求出k、t、p的值，利用等比數(shù)列的定義和通項公式求出a_n；
（2）根據(jù)n=1時b₁的值、當(dāng)n≥2時b_n=S_n-S_n-1的表達(dá)式，再驗證a₁是否滿足，求出{b_n}的通項公式．

解答： 解：（1）由題意設(shè)，a_n+1+k•3ⁿ+tn+p=2[（a_n+k•3^n-1+t（n-1）+p]，k、t是常數(shù)，
則a_n+1=2a_n-k•3^n-1+tn-2t+p，
因為a_n+1=2a_n+n-2×3^n-1-1，所以k=2、t=p=1，
則a_n+1+2•3ⁿ+n+1=2（a_n+2•3^n-1+n），

an+1+2•3n+n+1

an+2•3n-1+n

=2，
又a₁=1，所以a1+2•30-1+1=4，
則數(shù)列{an+2•3n-1+n}是以4為首項、2為公比的等比數(shù)列，
所以an+2•3n-1+n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即an=2n+1-2•3n-1-n，
（2）由題意得，S_n=2ⁿ-1，當(dāng)n=1時，b₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1，
當(dāng)n=1時，b₁=1也適合上式，
所以b_n=2^n-1，
綜上可得，an=2n+1-2•3n-1-n；b_n=2^n-1．

點評：本題考查數(shù)列遞推式的轉(zhuǎn)化，待定系數(shù)法、公式法求數(shù)列的通項公式，考查轉(zhuǎn)化思想和靈活變形能力．