Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）²，若存在實(shí)數(shù)a，使得f（x+a）≤2x-4對(duì)任意的x∈[2，t]恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由f（x）=（x+1）^2和f（x+a）≤2x-4得（x+a+1）²≤2x-4，化簡(jiǎn)得（x+a）²+2a+5≤0，令g（x）=（x+a）²+2a+5，利用函數(shù)性質(zhì)將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（2）≤0且g（t）≤0，求解t的范圍，最后求出最值．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）²，
∴f（x+a）≤2x-4，即為（x+a+1）²≤2x-4，
化簡(jiǎn)（x+a）²+2a+5≤0，
設(shè)g（x）=（x+a）²+2a+5，g（x）圖象為開(kāi)口向上的拋物線，
若對(duì)任意的x∈[2，t]，g（x）≤0恒成立，只需函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值非正即可，
即g（2）=a²+6a+9≤0，配方得（a+3）²≤0則a+3=0，a=-3
  此時(shí)g（t）≤0即為g（t）=（t-3）²-1≤0即-1≤t-3≤1，解得2≤t≤4，
 又∵t＞2，
∴2＜t≤4，
 則t的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，本題利用了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解，是一種重要的方法．