如圖，三棱錐A-BCD各棱長都為1，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，
（1）求MN和BD所成角；
（2）求該三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,球的體積和表面積,異面直線及其所成的角
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連接MO，NO，則∠MNO（或其補(bǔ)角）為MN和BD所成角；
（2）求出三棱錐的高，可得三棱錐的體積，求出內(nèi)切球的半徑，可得內(nèi)切球的體積，即可求出三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比．
解答： 解：（1）取BC中點(diǎn)O，連接MO，NO，則
∵N是CD的中點(diǎn)，
∴ON∥BD，
∴∠MNO（或其補(bǔ)角）為MN和BD所成角．
∵M(jìn)O=NO，MO⊥NO，
∴∠MNO=45°，即MN和BD所成角為45°；
（2）作AO′⊥平面ABC，則AO′=
1-(
3
3
)2
=
6
3
，
∴三棱錐體積為
1
3
×
3
4
×
6
3
=
2
12
．
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則4×
1
3
×
3
4
r=
2
12
．
∴r=
6
12
，
∴內(nèi)切球體積為
4
3
π×(
6
12
)3=
6
216
π，
∴三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比為
6
3
π
．
點(diǎn)評：本題考查線線角，考查錐體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E為PD的中點(diǎn)．
（I）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求異面直線BD和CE所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知ABC-A1B1C1是底面邊長為2的正三棱柱，O為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A1O與底面A1B1C1所成的角的大小為α，二面角B-AO-B1的大小為β，
求證：tanβ=
3
tanα；　　　　　
（Ⅱ）若點(diǎn)C到平面AB1C1的距離為
3
2
，求正三棱柱ABC-A1B1C1的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若拋物線y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)A（2，m）到焦點(diǎn)的距離為6，則p=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有
 
個（用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正三棱錐P-ABC，底面邊長為6，側(cè)棱長為5，求它的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

省少年籃球隊(duì)要從甲、乙兩所體校選拔隊(duì)員．現(xiàn)將這兩所體校共20名學(xué)生的身高繪制成如莖葉圖（單位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”．
（1）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機(jī)選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（2）從兩隊(duì)的“高個子”中各隨機(jī)抽取1人，求恰有1人身高達(dá)到190cm的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG，平面ADF，平面CDE都與平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（1）求證：AC∥FE；
（2）求多面體ABCDEFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖，AB是圓O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長線交AC于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：FA∥BE：；
（Ⅱ）求證：
AP
PC
=
FA
AB
；
（Ⅲ）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠CPE的值．

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