Question

已知f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，且曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
（1）求a的值和切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求導(dǎo)可得f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，代入x=1可得f′（1）=

1

4

-a-1=-2，從而求a，進(jìn)而求切線方程；
（2）f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-5-4x

4x2

=

(x-5)(x+1)

4x2

，從而求單調(diào)性與極值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x，
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得，a=

5

4

，
故f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，
則f（1）=

1

4

+

5

4

-

3

2

=0，
故切線方程為：y-0=-2（x-1），
即2x+y-2=0；
（2）∵f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-5-4x

4x2

=

(x-5)(x+1)

4x2

，
故當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，5）上單調(diào)遞減，在（5，+∞）上單調(diào)遞增；
則f（x）在x=5處有極小值f（5）=

5

4

+

1

4

-ln5-

3

2

=-ln5．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．