Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過點P（-3，0），其傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）若直線l與曲線C有公共點，求傾斜角α的取值范圍；
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0化為直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得t²-8tcosα+12=0，根據(jù)直線l與曲線C有公共點，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）曲線C的方程x²+y²-2x-3=0可化為（x-1）²+y²=4，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線上任意一點，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化簡即可得出取值范圍．

解答 解：（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0
化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-3=0，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將參數(shù)方程代入x²+y²-2x-3=0，整理得t²-8tcosα+12=0，
∵直線l與曲線C有公共點，∴△=64cos²α-48≥0，
∴cosα≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或cosα≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵α∈[0，π），
∴α的取值范圍是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π）．
（2）曲線C的方程x²+y²-2x-3=0可化為（x-1）²+y²=4，
其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∵M（x，y）為曲線上任意一點，
∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴x+y的取值范圍是[1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．