Question

【題目】已知△ABC的內角A，B，C滿足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，在下列不等式一定成立的是（　　）
A.bc（b+c）＞8
B.ab（a+b）＞16
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵△ABC的內角A，B，C滿足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，

∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ ，

∴sin2A+sin2B+sin2C= ，

∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）= ，

2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））= ，

化為2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]= ，

∴sinAsinBsinC= ．

設外接圓的半徑為R，

由正弦定理可得： =2R，

由S= ，及正弦定理得sinAsinBsinC= = ，

即R2=4S，

∵面積S滿足1≤S≤2，

∴4≤R2≤8，即2≤R≤ ，

由sinAsinBsinC= 可得 ，顯然選項C，D不一定正確，

A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正確，

B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16 ，不一定正確，

故選：A

通過對三角等式的變換可得,由正弦定理即面積公式可得出，由題意得出R的范圍，結合選項判斷可得出正確答案.