Question

【題目】在數列{an}中， ， ， ，其中n∈N* ．
（1）求證：數列{bn}為等差數列；
（2）設cn=bnbn+1cosnπ，n∈N* ， 數列{cn}的前n項和為Tn ， 若當n∈N*且n為偶數時， 恒成立，求實數t的取值范圍；
（3）設數列{an}的前n項的和為Sn ， 試求數列{S2n﹣Sn}的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，

∴ ，

∴數列{bn}是公差為1的等差數列

（2）解：由（1）可知， ，故bn=n．

因為 ，

所以Tn=c1+c2+…+cn= ，

當n∈N*且n為偶數時，設n=2m，m∈N*，

則 =b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）= ，

要使 對n∈N*且n為偶數恒成立，

只要使 對n∈N*且n為偶數恒成立，

即使 對n為正偶數恒成立，∵ ，

∴t≥1，故實數t的取值范圍是[1，+∞）

（3）解：由（1）得 ，∴ ，∴ ，

∴ ，

設 ，

∴ ，

∴ = ，

∴當n=1時， ，即M1＜M2，

當n≥2時，Mn+1﹣Mn＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴ ，

因此數列{S2n﹣Sn}的最大值為

【解析】（1）根據題意，由數列的遞推關系式得出bn+1與an的關系式，由等差數列的定義分析可得答案，（2）根據題意求出數列{cn}的前n項和為Tn的表達式，當n∈N*且n為偶數時，設n=2m，m∈N*，求出Tn的表達式，分析可得答案，（3）由（2）的結論求出S2n、Sn，即可得{S2n﹣Sn}的表達式，設M n = S 2 n S n，分析不難得出答案.
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．