分析 (1)以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AB1⊥BC1.
(2)求出平面AB1C1的法向量和→AE,利用向量法能求出AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離.
解答 證明:(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2,
∴以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),
→AB1=(-2,2,2),→BC1=(0,-2,2),
→AB1•→BC1=0-4+4=0,
∴AB1⊥BC1.
解:(2)AB的中點(diǎn)E(1,1,0),
→AB1=(-2,2,2),→AC1=(-2,0,2),→AE=(-1,1,0),
設(shè)平面AB1C1的法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→AB1=−2x+2y+2z=0→n•→AC1=−2x+2z=0,取x=1,得→n=(1,0,1),
∴AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離:
d=|→AE•→n||→n|=|−1|√2=√22.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 20 | B. | 21 | C. | 22 | D. | 23 |
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A. | 大于0 | B. | 等于0 | C. | 小于0 | D. | 大于或等于0 |
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A. | y=-1x | B. | y=lg(x2-4) | C. | y=e|x| | D. | y=cosx |
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