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17.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.
(1)求證:AB1⊥BC1
(2)求AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離.

分析 (1)以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AB1⊥BC1
(2)求出平面AB1C1的法向量和AE,利用向量法能求出AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離.

解答 證明:(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2,
∴以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),
AB1=(-2,2,2),BC1=(0,-2,2),
AB1BC1=0-4+4=0,
∴AB1⊥BC1
解:(2)AB的中點(diǎn)E(1,1,0),
AB1=(-2,2,2),AC1=(-2,0,2),AE=(-1,1,0),
設(shè)平面AB1C1的法向量n=(x,y,z),
{nAB1=2x+2y+2z=0nAC1=2x+2z=0,取x=1,得n=(1,0,1),
∴AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離:
d=|AEn||n|=|1|2=22

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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