Question

已知在數(shù)列{a_n}中，，S_n是其前n項(xiàng)和，且．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

（1）解：∵a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），S_n=n²a_n-n（n-1）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴-=1，∴{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
∴=1+（n-1）×1=n，∴S_n=
∵
∴
∴a_n=1-；
（2）證明：由（1）知，==
∴T_n=+1-++…+=+1-＜2
分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），結(jié)合條件可得{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出S_n=，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，分組求和，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查等差關(guān)系的確定，考查數(shù)列求和的方法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．