Question

如圖，在半徑為40cm、圓心角為60°的扇形鋁皮OPQ上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A，B在OP上，點C在

PQ

上，點D在OQ上．
（1）設∠COP=θ，將邊AB，BC表示成θ的關系式；
（2）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點：弧度制的應用

專題：應用題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）先把矩形的各個邊長用角θ表示出來，進而表示出矩形的面積即可將邊AB，BC表示成θ的關系式；
（2）再利用角θ的范圍，結合正弦函數(shù)的性質可求求矩形面積的最大值即可．

解答： 解：在RT△OBC中，OB=OC•cosθ=40cosθ，BC=OC•sinθ=40sinθ
在RT△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

（2分）
∴OA=

3

3

DA=

3

3

BC=40

3

3

sinθ，
∴AB=OB-OA=40cosθ-40

3

3

sinθ，（4分）
矩形ABCD的面積S=AB•BC=（40cosθ-40

3

3

sinθ）40sinθ=1600sinθcosθ-1600

3

3

sin2θ=800sin2θ-1600

3

6

（1-cos2θ）=800sin2θ+1600

3

6

cos2θ-1600

3

6

=1600

1

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ）-1600

3

6

=1600

1

3

sin（2θ+

π

6

）-1600

3

6

（8分）
（2）由0＜θ＜

π

3

，得

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，（10分）
所以當2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時，（12分）
S最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

，
所以，當θ=

π

6

時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

3

6

．（14分）

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡，屬于中檔題．