Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點(diǎn)。
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

Answer 1

（1）見解析       (2) tan∠PDC =  (3) sinφ=

（1）設(shè)CA與BD相交于O，連EO，
由底面ABCD是菱形得O是中點(diǎn)，且CA⊥BD，
E是PA的中點(diǎn)，得OE//PC
∵ PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD
∴ OE⊥AC
∴ AC⊥面BDE 
（2）由上知，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)BD＝2a;

設(shè)平面的法向量為
,令x=1得
由題意PA與面PBC所成角為30°，得：得a=1。
解法一：當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD是正方形，AD⊥CD
∵ PC⊥平面ABCD
∴ PC⊥AD
∴ AD⊥面PCD
則PD⊥AD
∠PDC是二面角P-AD-C的平面角，且tan∠PDC =解法二：當(dāng)a=1時(shí)，
面ACD的法向量為（0,0,1），設(shè)面PAD的法向量為

令x=1,則
二面角P-AD-C的平面角為銳角θ，cosθ=,tanθ=(3)設(shè)面PBD的法向量為

令z=1得
則sinφ=為定值。