Question

【題目】已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G.

（1）求曲線G的方程;

（2）設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得，由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓，并由此求得曲線的方程.

（2）將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.

（1）因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|

所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)不在軸上）,

所以c,a=2,b,

所以曲線G的方程為,

（2）因?yàn)?/span>，故四邊形為平行四邊形.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則四邊形為為菱形，

故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,

此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程是y=kx+m,

代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,

∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|

點(diǎn)O到直線MN的距離d,

由,得xD,yD，

∵點(diǎn)D在曲線C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,

由題意四邊形OMDN為平行四邊形,

∴OMDN的面積為S,

由1+2k2=2m2得S,

故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.