Question

若（a≠1），在定義域（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：當(dāng)函數(shù)單調(diào)性是增函數(shù)時，相應(yīng)二次函數(shù)圖象為開口向上的拋物線且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)大于0，并且在x=0時，二次函數(shù)對應(yīng)的值大于或等于指數(shù)型函數(shù)對應(yīng)的值．由此建立關(guān)于a的方程組并解之，即可得到實數(shù)a的范圍，同樣的方法可得函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時實數(shù)a的取值范圍，最后綜合可得本題的答案．
解答：f（x）在定義域（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時，
①函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)時，可得當(dāng)x=0時，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-≤a≤
∵x≥0時，y=ax²+1是增函數(shù)，∴a＞0
又∵x＜0時，（a²-1）e^ax是增函數(shù)，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實數(shù)a的取值范圍是：1＜a＜
②函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時，可得當(dāng)x=0時，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-或a≥．
∵x≥0時，y=ax²+1是減函數(shù)，∴a＜0
又∵x＜0時，（a²-1）e^ax是增函數(shù)，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實數(shù)a的取值范圍是：a＜-
綜上所述，得a∈
故選：C
點評：本題以分段函數(shù)為例，求函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時參數(shù)a的范圍，著重考查了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識，屬于中檔題．