Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

Answer 1

(1)；(2)；(3)．

試題分析：(1)已知橢圓過兩點(diǎn)，可把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變?yōu)槎�元一次方程組，從而可很快解得；(2)關(guān)鍵是線段的中點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由線段中點(diǎn)為，而直線的方程可求得，代入可得的一個(gè)方程，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程，聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)；(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法，設(shè)，在直線上，則，同理，
，下面我們想辦法把用表示出來，這可由共線，共線得到，這里要考查同學(xué)計(jì)算能力，只要計(jì)算正確，就能得出正確結(jié)論．
試題解析：（1）由已知，得解得       2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．       3分
（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而．       5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．       6分
（3）設(shè)，，．
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       8分
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．
從而．       14分
所以．       15分
∴為定值，定值為．       16分