Question

（本小題滿分12分）如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：方法一：（1）PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點(diǎn)E

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∵PA交AC與點(diǎn)A ∴BD⊥平面APC 2分，

∵FG 平面PAC

∴BD⊥FG 4分

（2）作BH⊥PC于H，連接DH，∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．

即 7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角 8分

連結(jié)EH，則EH⊥BD，，

而，∴ ∴ 10分

∴ 11分

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

方法二：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, 1分

∵ ， 2分

∴BD⊥FG 4分

（2）設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為∴，取z=1，得，

則，而

8分

同理可得平面PDC的一個(gè)法向量，設(shè)所成的角為

則

即，∴ ，∴a=1 10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，∴

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

考點(diǎn)：本題考查線線垂直的判斷，線面角的求法，面面角