【題目】已知橢圓的左焦點為，經過點的直線與橢圓相交于，兩點，點為線段的中點，點為坐標原點.當直線的斜率為時，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓的左頂點，點為橢圓的右頂點，過的動直線交該橢圓于，兩點，記的面積為，的面積為，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由點差法及橢圓的幾何性質即可求出橢圓的標準方程（2）設直線的方程為，求出三角形面積得，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關系可得關于m的函數(shù)式，換元后由均值不等式求最值即可.

（1）設，，則點，由條件知，

直線的斜率為，直線的斜率為，

而，兩式作差得，，

所以，即，

又左焦點為，所以，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，記，過標為，，

則，

，

所以.

聯(lián)立方程，，消去，得，

所以，，

，令，則，且，當且僅當時等號成立，

所以，即的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個零點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設數(shù)列滿足：，，求的通項公式；

（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列滿足，.

（1）求的通項公式；

（2）若，數(shù)列滿足關系式，求證：數(shù)列的通項公式為；

（3）設（2）中的數(shù)列的前n項和為，對任意的正整數(shù)n，恒成立，求實數(shù)p的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點M，使得：（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線、、都具有性質H.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點．判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是定義在R上的兩個函數(shù)，滿足， 滿足，且當時，，.若在區(qū)間上，關于的方程有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是______

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在點處切線的斜率為1.

（1）求的值；

（2）設，若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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