Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ）證明：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）若點D為B₁C₁的中點，求AD與平面A₁BC₁所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題意所給的條件，結合線面垂直的判定定理可得結論；
（Ⅱ）確定AD，C₁O的交點G為△AB₁C₁的重心，可得∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成角，即可求出AD與平面A₁BC₁所成角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又 A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁∩A₁B₁=A₁
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B．
∴A₁C₁⊥AB₁
又四邊形AA₁B₁B是正方形，AB₁⊥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）設AB₁∩BA₁=O，連結AC₁，
∵AB=AC=AA₁=a，A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴△AB₁C₁是正三角形，
∵AD，C₁O是△AB₁C₁的中線，
∴AD，C₁O的交點G為△AB₁C₁的重心，
∴∠AGO是AD與平面A₁BC₁所成角，
在Rt△AOG中，AG=

2

3

AD=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

3

2

，∴∠AGO=60°，即AD與平面A₁BC₁所成角為60°．

點評：本題考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的判定，屬中檔題．